( по следам энциклопедий, лекций и математических форумов )

F1.

Алгоритм Евклида для составления программы на ЭВМ:

1. Ввести a и b .

2. Если b = 0 , то Ответ: а . Конец .

3. Заменить r := "остаток от деления а на b ", а := b , b := r .

4. Идти на 2.

Реализация алгоритма в Maple:

> a:=525;b:=231;

for i from 1 to 1000

do r:=a mod b:a:=b:b:=r:

if b=0 then print(a);fi od;

F2. Формула Герона для вычисления площади треугольника.

a , b , c - стороны произвольного треугольника.

где

F3. Площадь треугольника по координатам его вершин:

S = 0,5 |(x₂ – x₁)(y₃ – y₁) – (x₃ – x₁)(y₂ – y₁)|

F4. Золотое сечение для отрезка a :

F5. Формула Эйлера: e^2πi = 1

F6. Пифагоровы тройки для уравнения x² + y² = z² :

x = m² – n²

y = 2mn

z = m² + n²

F7. Эйлеровы четверки для уравнения x³ + y³ + z³ = w³ :

x = x₀ (x₀ + y₀) m² + (w₀² – z₀²) mn – y₀ (w₀ – z₀) n²

y = y₀ (x₀ + y₀) m² - (w₀² – z₀²) mn – x₀ (w₀ – z₀) n²

z = z₀ (x₀ + y₀) m² - (y₀² – x₀²) mn + w₀ (w₀ – z₀) n²

w = w₀ (x₀ + y₀) m² - (y₀² – x₀²) mn + z₀ (w₀ – z₀) n²

где x₀ , y₀ , z₀ , w₀ - начальные значения, удовлетворяющие уравнению Эйлера (например : 3 , 4 , 5 , 6 ).

F8.

F9. ;

F10. Решение диофантова уравнения ax – by = r :

где φ(p) – числовая функция Эйлера [количество чисел от 1 до n , взаимно простых с n ].

Реализация в Maple:

> with(numtheory):a:=13;b:=36;r:=1;x:=b-b/a*((r*(b mod a)^(phi(a)-1)) mod a)+r/a;y:=a-(r*(b mod a)^(phi(a)-1)) mod a;

> > r:=-1;x:=b-b/a*((r*(b mod a)^(phi(a)-1)) mod a)+r/a;y:=a-(r*(b mod a)^(phi(a)-1)) mod a;

Эти 10 формул потрясли меня изяществом, красотой и полезностью. Сама вывести смогла только F3 и F4.

Студентка первого курса МГСУ

Габриель Солодова

Июль 2009